A study on transitive modal logics

The concern of this paper is the study of automated deduction methods for propositional modal logics. We use tableau proof-systems to show that Fitting's translation of the transitive modal logic S4 into T can be constructed in deterministic polynomial time. Moreover, we establish a polynomial bound to the length of branches in both tableau and sequent proof search for the transitive logics S4 and K4. This allows the elimination of periodicity tests when proving S4-validity; moreover, it provides directly a form of \contraction elimination result" in modal sequent calculi, in the sense that the number of contractions needed in a branch of a sequent proof need not exceed a given polynomial function of the endsequent. In order to obtain a complete contraction free fragment of the sequent calculus for S4, Mints's translation of modal formulae into modal clauses is used. Mints's notion of modal clause is also used to provide polynomial translations of S4 and K4 into K, by means of a preliminary (polynomial) rewriting of the input formulae into clausal form. R esum e. Ce papier est une etude de quelques m ethodes de d eduction automatique pour des logiques modales propositionnelles. Nous utilisons des syst emes de preuve par tableaux pour montrer que la traduction de la logique modale S4 en T propos ee par Fitting peut ^ etre construite en temps d eterministe polyn^ omial. En plus, nous etablissons une borne polyn^ omiale sur la longueur des branches au cours de la recherche de preuves pour les logiques transitives S4 and K4. Ceci permet d' eliminer les tests de p eriodicit e quand on prouve la validit e en S4; il constitue aussi une sorte d'\ elimination des contractions" pour les calculs des s equents modaux, dans le sens o u le nombre de contractions n ecessaires sur une branche d'une preuve par s equents n'a pas besoin de d epasser une certaine fonction polyn^ omiale du s equent conclusion. AAn d'obtenir un fragment sans contractions et complet du calcul des s equents pour S4, nous utilisons la mise en forme clausale modale propos ee par Mints. La notion de clause modale de Mints est aussi utilis ee pour construire des traductions polyn^ omiales de S4 et K4 en K, a l'aide d'une r e ecriture pr eliminaire des formules sous forme de clauses.